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(导学教程)2012届高三数学二轮复*课件:专题六第二讲

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第二讲

概率、随机变量及其分布 概率、

一、概率
特点 概率求法 古典 等可能性、 A包含事件的个数 P(A)= 概型 有限性 基本事件总数

A的区域长度(面积或体积) 几何 等可能性、 P(A)= 试验的全部结果构成的长度(面积或体积) 概型 无限性

特点 互斥事件 有一个发 生的概率 相互独立 事件同时 发生 独立重复 试验 事件互斥 事件互相 独立 一次试验 重复n次 在事件A发生 的条件下B发 生记作B|A

概率求法 P(A+B)= P(A)+P(B)(A、B互斥)

P(AB)= P(A)P(B) (A、B相互独立)

Ck pk(1-p)n-k P(X=k)= n (p为发生的概率)

条件概率

P(B|A)=

P(AB) P(A)

二、离散型随机变量的分布列及数字特征 1.离散型随机变量的分布列 . (1) 设 离 散 型 随 机 变 量 X 可 能 取 的 值 为 x1 , x2 , … , xi , … , xn , X 取 每 一 个 值 xi(i = 1,2,…,n)的概率为 的概率为P(X=xi)=pi,则称下表: 则称下表: , 的概率为 = = X P x1 p1 x2 p2 … … xi pi … xn … pn

为离散型随机变量X的分布列.

(2)分布列的性质 分布列的性质 ①pi≥0;②p1+p2+…+pn=1. ; (3)均值与方差 x1p1+x2p2+…+xnpn 均值与方差 (x 均值: . ①均值:E(X)= 1-E(X))2p1+…+(xn-E(X))2pn = D(X) ② 方 差 : aE(X)+b . = a2D(X) ③若Y=aX+b则 = + 则 E(Y)= = , D(Y)= = .

2.几种常见的随机分布 (1)超几何分布 在含有M件次品的N件产品中,任取n件,其中恰有X件次 k n- CMCN-kM 品,则P(X=k)= ,k=0,1,2,…,m,m=min{M, n CN n},且n≤N,M≤N,n,M,N∈N+. 称分布列

X

0


1




n


C0 Cn -0 C1 Cn -1 Cm Cn -m M N M M N M N P … M n M Cn Cn CN N N
为超几何分布列,称X服从超几何分布.

(2)二项分布 ①在n次独立重复试验中,事件A发生的次数X是一个随 机变量,其所有可能取的值为0,1,2,3,…,n,并且P(X=k) - Ck pkqn k(其中k=0,1,2,…,n,q=1-p). = n n - 显然P(X=k)≥0(k=0,1,2,…,n),∑ Ck pkqn k=1. k=0 n 称这样的随机变量X服从参数 n 和 p 的二项分布,记为 X~B(n,p). ②若X~B(n,p),则E(X)= n p,D(X)= n p(1-p).

(3)正态分布 正态分布 服从参数为?和 的正态分布, ① 若 X服从参数为 和 σ2的正态分布 , 则可表 服从参数为 X~N(?,σ2) 示为 . x=? ②N(?,σ2)的分布密度曲线关于直线 , 的分布密度曲线关于直线 对 1 该曲线与x轴所围成的图形的面积为 . 称,该曲线与 轴所围成的图形的面积为

1.(2011·课标全国卷)有3个兴趣小组,甲、乙两位同学 各自参加其中一个小组,每位同学参加各个小组的可能性相 同,则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 1 A.3 2 C.3 1 B.2 3 D.4

解析 甲、乙两位同学参加3个小组的所有可能性有 3×3=9(种),其中甲、乙两人参加同一个小组的情况有 3 3(种).故甲、乙两位同学参加同一个兴趣小组的概率P= 9 1 = 3.

答案 A

2.(2011·福建)如图,矩形ABCD中,点E为边CD的 中点,若在矩形ABCD内部随机取一个点Q,则点Q取自 △ABE内部的概率等于

1 A.4 1 C.2

1 B.3 2 D.3

这是一道几何概型的概率问题,点Q取自△ABE 1 S△ABE 2·|AB|·|AD| 1 内部的概率为 = = .故选C. S矩形ABCD |AB|·|AD| 2

解析

答案 C

3.(2011·广东)甲、乙两队进行排球决赛,现在的情形 是甲队只要再赢一局就获冠军,乙队需要再赢两局才能得冠 军,若两队胜每局的概率相同,则甲队获得冠军的概率为 1 3 A.2 B.5 2 3 C.3 D.4
甲队若要获得冠军,有两种情况,可以直接胜一 1 局,获得冠军,概率为 2 ,也可以乙队先胜一局,甲队再胜 1 1 1 1 1 3 一局,概率为2×2=4,故甲队获得冠军的概率为4+2=4. 解析

答案 D

4.(2011·湖北 如图,用K、A1、A2三类不同 . 湖北)如图 湖北 如图, 、 的元件连接成一个系统. 正常工作且A 的元件连接成一个系统.当K正常工作且 1、 正常工作且 A2 至 少 有 一 个 正 常 工 作 时 , 系 统 正 常 工 已知K、 作 . 已知 、 A1 、 A2 正常工作的概率依次为 0.9、0.8、0.8,则系统正常工作的概率为 、 、 ,

A.0.960 . C.0.720 .

B.0.864 . D.0.576 .

解析 解法一 由题意知K,A1,A2正常工作的概率分别 为P(K)=0.9,P(A1)=0.8,P(A2)=0.8,∵K,A1,A2相互独 立, ∴A1,A2至少有一个正常工作的概率为P( A1 A2)+P(A1 A2 )+P(A1A2)=(1-0.8)×0.8+0.8×(1-0.8)+0.8×0.8=0.96. ∴系统正常工作的概率为P(K)[P( A1 A2)+P(A1 A2 )+ P(A1A2)]=0.9×0.96=0.864. 解法二 A1,A2至少有一个正常工作的概率为1-P( - 1 A - A
2)=1-(1-0.8)(1-0.8)=0.96,∴系统正常工作的概率为

P(K)[1-P(-1 -2)]=0.9×0.96=0.864. A A

答案 B

5.(2011·浙江)某毕业生参加人才招聘会,分别向甲、 乙、丙三个公司投递了个人简历.假定该毕业生得到甲公 2 司面试的概率为 3 ,得到乙、丙两公司面试的概率均为p, 且三个公司是否让其面试是相互独立的.记X为该毕业生 1 得到面试的公司个数.若P(X=0)= 12 ,则随机变量X的数 学期望E(X)=________.

1 1 1 2 解析 由题意知P(X=0)=3(1-p) =12,∴p=2. 随机变量X的分布列为: X 0 1 2 3 1 1 5 1 P 12 3 12 6 1 1 5 1 5 E(X)=0×12+1×3+2×12+3×6=3. 5 答案 3

高考对本节内容考查的重点是古典概型、 高考对本节内容考查的重点是古典概型 、 几 何概型、 互斥事件的概率、 何概型 、 互斥事件的概率 、 相互独立事件的 概率、 概率 、 二项分布以及离散型随机变量的分布 期望、 方差等. 列 、 期望 、 方差等 . 题目常与实际生活相联 系,体现概率在实际应用中的地位与作 预计2012年高考对概率考查的难度不会 用 . 预计 年高考对概率考查的难度不会 太大, 一般为中等偏下. 太大 , 一般为中等偏下 . 离散型随机变量的 分布列、 分布列 、 均值和方差是解答题中考查的重点 内容,在复*中要给予重视. 内容,在复*中要给予重视.

古典概型

(2011·浙江)有5本不同的书,其中语文书2本,数学书 2本,物理书1本,若将其随机地抽取并排摆放在书架的 同一层上,则同一科目的书都不相邻的概率是 1 2 A.5 B.5 3 4 D.5 C.5

【解析】 第一步先排语文书有A 2 =2种排法.第二 2 步排物理书,分成两类.一类是物理书放在语文书之间, 有1种排法,这时数学书可从4个空中选两个进行排列,有 A 2 =12种排法;一类是物理书不放在语文书之间有2种排 4 法,再选一本数学书放在语文书之间有2种排法,另一本 有3种排法.因此同一科目的书都不相邻共有2×(12+ 2×2×3)=48种排法,而5本书全排列共有A 5 =120种.所 5 48 2 以同一科目的书都不相邻的概率是120=5.

【答案】 B 答案】

有关古典概型的概率问题, 有关古典概型的概率问题 , 关键是求出基本 事件总数和所求事件包含的基本事件数, 事件总数和所求事件包含的基本事件数 , 这 一般要用到计数原理与排列组合的相关知识, 一般要用到计数原理与排列组合的相关知识 , 如本例中的难点就是求基本事件的总数, 如本例中的难点就是求基本事件的总数 , 一 般解决的方法要先准确理解基本事件的构成, 般解决的方法要先准确理解基本事件的构成 , 即要求同一科目的书不相邻, 即要求同一科目的书不相邻 , 然后根据具体 情况选择合适的方法计算. 如本例中, 情况选择合适的方法计算 . 如本例中 , 由于 放在语文书中的物理书的位置不同, 放在语文书中的物理书的位置不同 , 影响数 学书的排放, 故要分类讨论, 学书的排放 , 故要分类讨论 , 这也是很常见 方法之一. 方法之一.

1.(2011·安徽八校模拟)连掷两次骰子得到的点数分 别为m和n,记向量a=(m,n)与向量b=(1,-1)的夹角 ? π? 为θ,则θ∈?0,2?的概率是________. ? ?
∵m、n均为正整数,∴当点A(m,n)位于直 ? π? 线y=x上及其下方第一象限的部分时,满足θ∈ ?0,2? , ? ? 此时,点A(m,n)有6+5+4+3+2+1=21(个),而点 21 7 A(m,n)的总个数为6×6=36,故所求概率为36=12.
答案 7 12

解析

几何概型

(2011·湖南 如图 , EFGH是以 为圆心 、 湖南)如图 是以O为圆心 湖南 如图, 是以 为圆心、 半径为1的圆的内接正方形 的圆的内接正方形. 半径为 的圆的内接正方形.将一颗豆子随机 地扔到该圆内, 表示事件“ 地扔到该圆内,用A表示事件“豆子落在正方 表示事件 表示事件“ 形 EFGH内 ” , B表示事件 “ 豆子落在扇形 内 表示事件 OHE(阴影部分 内 ” , 则 (1)P(A)= ________; 阴影部分)内 阴影部分 = ; (2)P(B|A)=________. =

(1)由题意可得,事件A发生的概率P(A) S正方形EFGH 2× 2 2 = = 2 = . π S圆O π×1 (2)事件AB表示“豆子落在△EOH内”,则P(AB)= 1 1 2 S△EOH 2×1 1 P(AB) 2π 1 = 2= 2π.故P(B|A)= P(A) = 2 =4. S圆O π×1 π 2 1 【答案】 π;4

【解析】

高考对几何概型的考查仅仅局限在几何概型 的意义,那就要知道几何概型的计算公 式 . 几何概型的试题往往以其他数学问题为 背景, 在解答几何概型问题时, 背景 , 在解答几何概型问题时 , 要从整个高 中数学的相关知识上考虑问题, 中数学的相关知识上考虑问题 , 如本例中的 条件概率, 与之综合的常常还有线性规划、 条件概率 , 与之综合的常常还有线性规划 、 定积分、 几何体的体积求法等, 定积分 、 几何体的体积求法等 , 解决的方法 最终是把问题转化到求一些线段长度的比值、 最终是把问题转化到求一些线段长度的比值 、 区域面积的比值和几何体的体积的比值上 去.

2.在区间[0,2]上任取两个实数a,b,则函数f(x)=x3 +ax-b在区间[-1,1]上有且仅有一个零点的概率是 1 1 A.8 B.4 3 7 C.4 D.8

解析 因为f′(x)=3x2+a,由于a≥0,故f′(x)≥0 恒成立,故函数f(x)在[-1,1]上单调递增,故函数f(x)在 区间[-1,1]上有且只有一个零点的充要条件是 ?f(-1)≤0, ?a+b+1≥0, ? ? ? 即? ?f(1)≥0, ?a-b+1≥0. ? ?

?0≤a≤2, ? 设点(a,b),则基本事件所在的区域是 ? ?0≤b≤2, ?



出*面区域,如图所示,根据几何概型的意义,所求的概 率是图中阴影部分的面积和以2为边长的正方形的面积的比 7 值,这个比值是8.故选D.

答案 D

相互独立事件的概率

(2011·大纲全国卷 根据以往统计资料,某 大纲全国卷)根据以往统计资料 大纲全国卷 根据以往统计资料, 地车主购买甲种保险的概率为0.5, 地车主购买甲种保险的概率为 ,购买乙种 保险但不购买甲种保险的概率为0.3.设各车主 保险但不购买甲种保险的概率为 设各车主 购买保险相互独立. 购买保险相互独立. (1)求该地 位车主至少购买甲、乙两种保险中 求该地1位车主至少购买甲 求该地 位车主至少购买甲、 种的概率; 的1种的概率; 种的概率 (2)求该地的 位车主中恰有 位车主甲、 乙两 求该地的3位车主中恰有 位车主甲、 求该地的 位车主中恰有1位车主甲 种保险都不购买的概率. 种保险都不购买的概率.

【解析】 记A表示事件:该地的1位车主购买甲种保险; B表示事件:该地的1位车主购买乙种保险但不购买甲种保 险; C表示事件:该地的1位车主至少购买甲、乙两种保险中的 1种; D表示事件:该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买. E表示事件:该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保 险都不购买. (1)P(A)=0.5,P(B)=0.3,C=A+B, P(C)=P(A+B)=P(A)+P(B)=0.8. (2)D= C ,P(D)=1-P(C)=1-0.8=0.2, P(E)=C1×0.2×0.82=0.384. 3

解决相互独立事件的概率问题要学会分析事 件之间的关系, 件之间的关系 , 一个实际问题中往往涉及多 个事件, 个事件 , 正确理解这些事件之间的相互关系 是解决问题的核心, 是解决问题的核心 , 一般的思路是先把所要 解决的随机事件分解成若干个互斥事件的和, 解决的随机事件分解成若干个互斥事件的和 , 再把这些互斥事件中的每一个事件分解成若 干相互独立事件的积, 干相互独立事件的积 , 或利用所求事件的对 立事件解决问题. 立事件解决问题.

在本例中, 求该地3位车主中恰有 位车主中恰有1位车主只 在本例中 , 求该地 位车主中恰有 位车主只 购买甲保险, 位车主只购买乙保险 位车主只购买乙保险, 购买甲保险,1位车主只购买乙保险,另一位 车主甲、乙两种保险都买的概率. 车主甲、乙两种保险都买的概率.
解析 记F表示事件:该地的1位车主购买甲保险但 不购买乙保险,G表示事件:该地的1位车主甲、乙两种 保险都购买. ∴A=F+G,∴P(A)=P(F)+P(G) =P(F)+P(BF)=P(F)+P(B)P(F), 5 3 ∴0.5=P(F)+0.3P(F),解得P(F)=13,P(G)=26, 故所求事件的概率为: 5 3 27 1 1 C3P(F)·C2·P(B)·P(BF)=3×13×2×0.3×26=338.

离散型随机变量的分布列、期望、 离散型随机变量的分布列、期望、方差

(12分)(2011·海淀模拟)某班将要举行篮球投篮比赛, 比赛规则是:每位选手可以选择在A区投篮2次或选择在B区 投篮3次.在A区每进一球得2分,不进球得0分;在B区每进 一球得3分,不进球得0分,得分高的选手胜出.已知参赛 9 1 选手甲在A区和B区每次投篮进球的概率分别为10和3. (1)如果选手甲以在A、B区投篮得分的期望较高者为选 择投篮区的标准,问选手甲应该选择在哪个区投篮? (2)求选手甲在A区投篮得分高于在B区投篮得分的概 率.

解题切点】 【 解题切点 】 (1)利用二项分布的数学期望 利用二项分布的数学期望 公式计算期望值的大小,比较可得. 公式计算期望值的大小,比较可得. (2)列出甲在 区与 区所得分数,由互斥事件 列出甲在A区与 区所得分数, 列出甲在 区与B区所得分数 的概率公式计算. 的概率公式计算.
【标准解答】 (1)设选手甲在A区投两次篮的进球数 ? 9? 9 9 ?2, ?,故E(X)=2× = ,(2分) 为X,则X~B 10? 10 5 ? 9 则选手甲在A区投篮得分的期望为2×5=3.6. 设选手甲在B区投三次篮的进球数为Y,则Y~ ? 1? 1 ?3, ?,故E(Y)=3× =1,(4分) B 3? 3 ?

则选手甲在B区投篮得分的期望为3×1=3. ∵3.6>3,∴选手甲应该选择在A区投篮.(6分) (2)设选手甲在A区投篮得分高于在B区投篮得分为事件 C,甲在A区投篮得2分、在B区投篮得0分为事件C1,甲在 A区投篮得4分、在B区投篮得0分为事件C2,甲在A区投篮 得4分、在B区投篮得3分为事件C3,则C=C1∪C2∪C3,其 中C1,C2,C3为互斥事件.(8分) 则:P(C)=P(C1∪C2∪C3)=P(C1)+P(C2)+P(C3)= 18 8 81 8 81 4 49 100 × 27 + 100 × 27 + 100 × 9 = 75 ,故选手甲在A区投篮得 49 分高于在B区投篮得分的概率为75.(12分)

概率统计问题解法综述 1.求复杂事件的概率,要正确分析复杂事件 .求复杂事件的概率, 的构成, 的构成 , 看复杂事件能转化为几个彼此互斥 的事件的和事件还是能转化为几个相互独立 事件同时发生的积事件, 事件同时发生的积事件 , 然后用概率公式求 解. 2.一个复杂事件若正面情况比较多,反面情 .一个复杂事件若正面情况比较多, 况较少, 则一般利用对立事件进行求解. 况较少 , 则一般利用对立事件进行求解 . 对 至少” 至多” 于 “ 至少 ” , “ 至多 ” 等问题往往用这种方 法求解. 法求解.

3.求离散型随机变量的分布列的关键是正确 . 理解随机变量取每一个值所表示的具体事件, 理解随机变量取每一个值所表示的具体事件 , 然后综合应用各类求概率的公式,求出概 率. 4.求随机变量的均值和方差的关键是正确求 . 出随机变量的分布列, 出随机变量的分布列 , 若随机变量服从二项 分布(或两点分布 则可直接使用公式求解. 或两点分布), 分布 或两点分布 ,则可直接使用公式求解.

3.(2011·重庆 某市公租房的房源位于 、 B、 . 重庆)某市公租房的房源位于 重庆 某市公租房的房源位于A、 、 C三个片区.设每位申请人只申请其中一个片 三个片区. 三个片区 区的房源, 区的房源 , 且申请其中任一个片区的房源是 等可能的.求该市的任4位申请人中 位申请人中: 等可能的.求该市的任 位申请人中: (1)恰有 人申请 片区房源的概率; 4 恰有2人申请 片区房源的概率; 恰有 人申请A片区房源的概率 解析 (1)解法一 所有可能的申请方式有3 种,恰 (2)申请的房源所在片区的个数种,从而恰有2 申请的房源所在片区的个数ξ的分布列与期 申请的房源所在片区的个数 有2人申请A片区房源的申请方式有C 2 ·22 的分布列与期 4 C2·22 8 望. 4 人申请A片区房源的概率为 = .
34 27

解法二

设对每位申请人的观察为一次试验,这是4

次独立重复试验. 1 记“申请A片区房源”为事件A,则P(A)=3. 从而,由独立重复试验中事件A恰发生k次的概率计算 A k
2 1 2 2 公式知,恰有2人申请A片区房源的概率为P4(2)=C4? ? ? ?

? ? ?3?

? ? ?3?

2

8 =27.

3 1 (2)ξ的所有可能值为1,2,3.又P(ξ=1)=34=27, C2(C1C2+C2C2) 3 2 4 4 2 P(ξ=2)= 34 C2(24-2) 14? 14? 3 ? =27?或P(ξ=2)= =27?, 4 ? 3 ? ? C2A3 4? C1C2C1 4? 4 3 3 4 2 P(ξ=3)= 34 =9?或 P(ξ=3)= 34 =9?. ? ? 综上知,ξ的分布列为: ξ 1 2 3 1 14 4 P 27 27 9 1 14 4 65 从而有Eξ=1×27+2×27+3×9=27.




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